GRAF

Graf adalah :

¨ Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik)

¨ Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk atau sisi)

Notasi : G(V,E)

Simpul u dan v disebut berdampingan bila terdapat ruas (u,v).

Graf dapat pula disajikan secara geometrik, simpul disajikan sebagai sebuah titik, sedangkan ruas disajikan sebagai sebuah garis yang menghubungkan 2 simpul.

Contoh 1 :

Graf G(V,E) dengan :

1. V terdiri dari 4 simpul, yaitu simpul A, B, C dan D

2. E terdiri dari 5 ruas, yaitu e1 = (A, B) e2 = (B, C) e3 = (A, D)

e4 = (C, D) e5 = (B, D)

A e3 D

· ·

e1 e5 e4

· ·

B e2 C

Banyak simpul disebut ORDER, banyak ruas disebut SIZE dari graf.

Graf yang lebih umum disebut Multigraf

Contoh 2 :

Graf G(V,E) dengan :

1. V terdiri dari 4 simpul, yaitu simpul A, B, C dan D

2. E terdiri dari 6 ruas, yaitu e1 = (A, C) e2 = (A, A) e3 = (A, D)

e4 = (C, D) e5 = (B, C) e6 = (B, C)

A e2 e3 D

· ·

e1 e4

· ·

B e6 C

Di sini ruas e2 kedua titik ujungnya adalah simpul yang sama, yaitu simpul A, disebut Gelung atau Self-Loop. Sedangkan ruas e5 dan e6 mempunyai titik ujung yang sama, yaitu simpul B dan C, disebut Ruas Berganda atau Ruas Sejajar.

Suatu graf yang tidak mengandung ruas sejajar ataupun self-loop disebut Graf Sederhana atau Simple Graf.

Suatu graf G’(V’,E’) disebut subgraf dari G(V,E), jika V’ himpunan bagian dari V dan E’ himpunan bagian dari E.

Jika E’ mengandung semua ruas dari E yang titik ujungnya di V’, maka G’ disebut subgraf yang direntang oleh V’ (Spanning subgraf).

Contoh :

A e5 D

G · ·

e1 e3 e4

· ·

B e2 C

A D

G’ · · G’ subgraf dari G (namun bukan dibentuk

oleh V’ = {A,B,D})

e1 e3

G’ subgraf yang dibentuk oleh V’ = (A,B,D)

A e5 D

G’ · ·

e1 e3

· B

GRAF BERLABEL

Graf G disebut graf berlabel jika ruas dan atau simpulnya dikaitkan dengan suatu besaran tertentu. Jika setiap ruas e dari G dikaitkan dengan suatu bilangan non negatif d(e), maka d(e) disebut bobot atau panjang dari ruas e.

DERAJAT GRAF

Derajat simpul V, ditulis d(v) adalah banyaknya ruas yang menghubungi v. Karena setiap ruas dihitung dua kali ketika menentukan derajat suatu graf, maka :

Jumlah derajat semua simpul suatu graf (derajat) = dua kali banyaknya ruas graf (size graf).

Suatu simpul disebut genap/ganjil tergantung apakah derajat simpul tersebut genap/ganjil. Kalau terdapat self-loop, maka self-loop dihitung 2 kali pada derajat simpul.

Contoh :

A B F

G · · ·

· · · E

C D

Di sini banyaknya ruas = 7, sedangkan derajat masing-masing simpul adalah :

d(A) = 2 d(D) = 3 derajat graf G = 14

d(B) = 5 d(E) = 1 (2 * 7)

d(C) = 3 d(F) = 0

Catatan : E disebut simpul bergantung/akhir, yakni simpul yang berderajat satu. Sedangkan F disebut simpul terpencil, yakni simpul berderajat nol.

KETERHUBUNGAN

Walk atau perjalanan dalam graf G adalah barisan simpul dan ruas berganti-ganti : v₁, e₁, v₂, e₂, …, e_n-1, v_n

Di sini ruas e₁ menghubungkan simpul v_idan v_I+1

Banyaknya ruas disebut panjang walk.

Walk dapat ditulis lebih singkat dengan hanya menulis deretan ruas : e₁, e₂, …, e_n-1

atau deretan simpul : v₁, v₂, …, v_n-1, v_n

v₁ disebut simpul awal, v_n disebut simpul akhir

Walk disebut tertutup bila v₁ = v_n , dalam hal lain walk disebut terbuka, yang menghubungkan v₁dan v_n

Trail adalah walk dengan semua ruas dalam barisan berbeda.

Path atau jalur adalah walk dengan semua simpul dalam barisan berbeda. Jadi path pasti trail, sedangkan trail belum tentu path.

Dengan kata lain : Suatu path adalah suatu trail terbuka dengan derajat setiap simpulnya = 2, kecuali simpul awal v₁dan v_n simpul akhir berderajat = 1.

Cycle atau sirkuit adalah suatu trail tertutup dengan derajat setiap simpul = 2.

Contoh :

Graf yang tidak mengandung cycle disebut acyclic, contoh : pohon atau tree.

Suatu graf G disebut terhubung jika untuk setiap 2 simpul dari graf terdapat jalur yang menghubungkan 2 simpul tersebut.

Subgraf terhubung suatu graf disebut komponen dari G bila subgraf tersebut tidak terkandung dalam subgraf terhubung lain yang lebih besar.

Contoh : Graf G terdiri dari 3 komponen

B C

· · · D · F

· A · E

Terlihat misalnya antara D dan A tidak ada jalur.

Jarak antara 2 simpul dalam graf G adalah panjang jalur terpendek antara ke-2 simpul tersebut.

Diameter suatu graf terhubung G adalah maksimum jarak antara simpul-simpul G.

Contoh : Graf G (graf terhubung) terdiri dari 1 komponen

· C · E

A · · D · G

· B · F

Jarak maksimum dalam graf G adalah 3 (yaitu antara A – G atau B – G ataupun C – G). Jadi diameter = 3.

Kalau order dari G = n, size dari G = e, dan banyaknya komponen = k, maka didefinisikan :

Rank(G) = n – k Nullity(G) = e – (n – k)

MATRIKS PENYAJIAN GRAF

Pandang bahwa G graf dengan N simpul dan M ruas.

Untuk mempermudah komputasi, graf dapat disajikan dalam bentuk matriks, disebut Matriks Ruas, yang berukuran (2 x M) atau (M x 2) yang menyatakan ruas dari graf.

Matriks adjacency dari graf G tanpa ruas sejajar adalah matriks A berukuran (N x N), yang bersifat :

1, bila ada ruas (v_i, v_j)

a_ij =

0, dalam hal lain

Matriks adjacency merupakan matriks simetri.

Untuk graf dengan ruas sejajar, matriks adjacency didefinisikan sebagai berikut :

p, bila ada p buah ruas menghubungkan (v_i, v_j) (p > 0)

a_ij =

0, dalam hal lain

Matriks Incidence dari graf G, tanpa self-loop didefinisikan sebagai matriks M berukuran (N x M)

1, bila ruas e_jberujung di simpul v_i,

m_ij =

0, dalam hal lain

Contoh :

v1 v4 v5

· · ·

e4 e8

e1 e2 e6 e7

· ·

v2 e3 v3

Matriks Ruas

1 1 1 1 2 3 3 4 1 2

2 3 4 5 3 4 5 5 atau 1 3

1 4

1 5

2 3

3 4

3 5

4 5

Matriks Adjacency : N x N

v1 v2 v3 v4 v5

v1 0 1 1 1 1

v2 1 0 1 0 0

v3 1 1 0 1 1

v4 1 0 1 0 1

v5 1 0 1 1 0

Matriks Incidence : N x M

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8

v1 1 1 0 1 1 0 0 0

v2 1 0 1 0 0 0 0 0

v3 0 1 1 0 0 1 1 0

v4 0 0 0 1 0 1 0 1

v5 0 0 0 0 1 0 1 1

GRAF BERARAH (DIGRAF)

Suatu graf berarah (digraf) D terdiri atas 2 himpunan :

1. Himpunan V, anggotanya disebut simpul

2. Himpunan A, merupakan himpunan pasangan terurut, yang disebut ruas berarah atau arkus.

Notasi : D(V, A)

Simpul, anggota v, digambarkan sebagai titik (atau lingkaran kecil). Sedangkan arkus a=(u,v), digambarkan sebagai garis dilengkapi dengan tanda panah mengarah dari simpul u ke simpul v. Simpul u disebut titik pangkal, dan simpul v disebut titik terminal dari arkus tersebut.

Contoh :

Graf berarah D (V, A) dengan :

1. V mengandung 4 smpul, yaitu : 1, 2, 3 dan 4

2. A mengandung 7 arkus, yaitu : (1,4), (2,1), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (4,3).